泰勒中值定理的余项如何得到
泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n 1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：
f(x)=f(x.) f'(x.)(x-x.) f''(x.)/2!•(x-x.)^2, f'''(x.)/3!•(x-x.)^3 …… f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n rn
其中rn=f(n 1)(ξ)/(n 1)!•(x-x.)^(n 1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。）
证明：我们知道f(x)=f(x.) f'(x.)(x-x.) α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limδx→0 f(x. δx)-f(x.)=f'(x.)δx），其中误差α是在limδx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：
p(x)=a0 a1(x-x.) a2(x-x.)^2 …… an(x-x.)^n
来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-p(x)的具体表达式。设函数p(x)满足p(x.)=f(x.),p'(x.)=f'(x.),p''(x.)=f''(x.),……,p(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出a0、a1、a2、……、an。显然，p(x.)=a0,所以a0=f(x.)；p'(x.)=a1,a1=f'(x.)；p''(x.)=2!a2,a2=f''(x.)/2!……p(n)(x.)=n!an,an=f(n)(x.)/n!。至此，多项的各项系数都已求出，得：p(x)=f(x.) f'(x.)(x-x.) f''(x.)/2!•(x-x.)^2 …… f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n.
接下来就要求误差的具体表达式了。设rn(x)=f(x)-p(x),于是有rn(x.)=f(x.)-p(x.)=0。所以可以得出rn(x.)=rn'(x.)=rn''(x.)=……=rn(n)(x.)=0。根据柯西中值定理可得rn(x)/(x-x.)^(n 1)=rn(x)-rn(x.)/(x-x.)^(n 1)-0=rn'(ξ1)/(n 1)(ξ1-x.)^n(注：(x.-x.)^(n 1)=0),这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得rn'(ξ1)-rn'(x.)/(n 1)(ξ1-x.)^n-0=rn''(ξ2)/n(n 1)(ξ2-x.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n 1次后得出rn(x)/(x-x.)^(n 1)=rn(n 1)(ξ)/(n 1)!，这里ξ在x.和x之间。但rn(n 1)(x)=f(n 1)(x)-p(n 1)(x),由于p(n)(x)=n!an,n!an是一个常数，故p(n 1)(x)=0，于是得rn(n 1)(x)=f(n 1)(x)。综上可得，余项rn(x)=f(n 1)(ξ)/(n 1)!•(x-x.)^(n 1)。一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把rn(x)写为rn。
麦克劳林展开式：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n 1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和：
f(x)=f(0) f'(0)x f''(0)/2!•x^2, f'''(0)/3!•x^3 …… f(n)(0)/n!•x^n rn
其中rn=f(n 1)(θx)/(n 1)!•x^(n 1),这里0<θ<1。
证明：如果我们要用一个多项式p(x)=a0 a1x a2x^2 …… anx^n来近似表示函数f(x)且要获得其误差的具体表达式，就可以把泰勒公式改写为比较简单的形式即当x.=0时的特殊形式：
f(x)=f(0) f'(0)x f''(0)/2!•x^2, f'''(0)/3!•x^3 …… f(n)(0)/n!•x^n f(n 1)(ξ)/(n 1)!•x^(n 1)
由于ξ在0到x之间，故可写作θx，0<θ<1。
麦克劳林展开式的应用：
1、展开三角函数y=sinx和y=cosx。
解：根据导数表得：f(x)=sinx , f'(x)=cosx , f''(x)=-sinx , f'''(x)=-cosx , f(4)(x)=sinx……
于是得出了周期规律。分别算出f(0)=0，f'(0)=1, f''(x)=0, f'''(0)=-1, f(4)=0……
最后可得：sinx=x-x^3/3! x^5/5!-x^7/7! x^9/9!-……（这里就写成无穷级数的形式了。）
类似地，可以展开y=cosx。
2、计算近似值e=lim x→∞ (1 1/x)^x。
解：对指数函数y=e^x运用麦克劳林展开式并舍弃余项：
e^x≈1 x x^2/2! x^3/3! …… x^n/n!
当x=1时，e≈1 1 1/2! 1/3! …… 1/n!
取n=10,即可算出近似值e≈2.7182818。
3、欧拉公式：e^ix=cosx isinx（i为-1的开方，即一个虚数单位）
证明：这个公式把复数写为了幂指数形式，其实它也是由麦克劳林展开式确切地说是麦克劳林级数证明的。过程具体不写了，就把思路讲一下：先展开指数函数e^z，然后把各项中的z写成ix。由于i的幂周期性，可已把系数中含有土i的项用乘法分配律写在一起，剩余的项写在一起，刚好是cosx,sinx的展开式。然后让sinx乘上提出的i，即可导出欧拉公式。有兴趣的话可自行证明一下。
泰勒
(2004-02-06)
18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（brook taylor）， 于1685 年8月18日在米德尔塞克斯的埃 德蒙顿出生。1709年后移居伦敦，获法学硕士学位。他在 1712年当选为英国皇家学 会会员，并于两年后获法学博士学位。同年（即1714年）出任 英国皇家学会秘书，四年 后因健康理由辞退职务。1717年，他以泰勒定理求解了数值方程。 最后在1731年1 2月29日于伦敦逝世。
泰勒的主要着作是1715年出版的《正 的和反的增量方法》，书内以下列形式陈述出他已于 1712年7月给其老师梅钦（数学家 、天文学家）信中首先提出的着名定理——泰勒定理：式内v为独立变量的增量， 及 为流数。他假定z随时间均匀变化，则 为常数。上述公式以现代 形式表示则为：这公式是从格雷戈里－牛顿插值公式发展而成 的，当x＝0时便称作马克劳林定理。1772年 ，拉格朗日强调了此公式之重要性，而且 称之为微分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑 级数的收敛性，因而使证明不严谨， 这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成。
泰勒定理开创 了有限差分理论，使任何单变量 函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者 。 泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理 问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要 。他透过求解方程 导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先 河。此外，此书还包括了他于 数学上之其他创造性工作，如论述常微分方程的奇异解，曲率 问题之研究等。
1715年，他出版了另一名着《线性透 视论》，更发表了再版的《线性透视原理》（1719） 。他以极严密之形式展开其线性透 视学体系，其中最突出之贡献是提出和使用「没影点」概念， 这对摄影测量制图学之发展有 一定影响。另外，还撰有哲学遗作，发表于1793年。
泰勒中值定理的余项如何得到
答：泰勒中值定理:若函数f(x)在开区间(a,b)有直到n 1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于(x-x.)多项式和一个余项的和: f(x)=f(x.) f'(x.)(x-x.) f''(x.)/2!•(x-x.)^2, f'''(x.)/3!•(x-x.)^3 …… f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n rn 其中rn=f(n 1...
答：泰勒中值定理（带拉格郎日余项专的属泰勒公式）：若函数f(x）在含有x的开区间（a，b）有直到n 1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于(x-x0)多项式和一个余项的和。泰勒展开式很好地把初等函数形式与超越函数联系起来，而找到初等方法与超越函数的联系，往往是导数命题的一种形式。
答：现在，让我们深入到泰勒公式的核心公式：通过n阶展开，余项被定义为 。我们对 进行n次求导，然后利用拉格朗日中值定理，这个过程就像一道数学的桥梁，将复杂的高阶项转化为易于理解的形式： 。积分的魔力：余项的确定性 这个看似简单的公式，实则蕴含着深奥的积分技巧。每个积分步骤都如同剥洋葱，一层层...
答：在高等数学的理论研究及应用实践中,泰勒公式有着十分重要的应用，简单归纳如下：1、应用泰勒中值定理(泰勒公式)可以证明中值等式或不等式命题。2、应用泰勒公式可以证明区间上的函数等式或不等式。3、应用泰勒公式可以进行更加精密的近似计算。4、应用泰勒公式可以求解一些极限。5、应用泰勒公式可以计算高阶导...
答：，其中θ∈（0,1）。拉格朗日余项实际是泰勒公式展开式与原式之间的一个误差值，如果其值为无穷小，则表明公式展开足够准确。证明：根据柯西中值定理：其中θ1在x和x0之间；继续使用柯西中值定理得到：其中θ2在θ1和x0之间；连续使用n 1次后得到：其中θ在x和x0之间；同时：进而：综上可得：...
答：泰勒公式的推导运用了多次柯西中值定理，目的是，要找到f(x)的n阶展开式，并使误差项rn(x)为(x-x0)^n的高阶无穷小，就要用柯西中值定理证明余项rn(x)是存在的，而且是可求出来的。在所给出的展开式中，rn(x)被写在最后一项，把前面的n个含(x-x0)的代数式以及f(x0)都减到f(x)的...
答：泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n 1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.) f'(x.)(x-x.) f''(x.)/2!•(x-x.)^2, f'''(x.)/3!•(x-x.)^3 …… f(n)(x.)/n!•(x...
答：其余项r(x)的形式之所以这样，是因为有这样的一个定理：设f(x)在[a,b]上n次连续可导且在(a,b)内n 1次可导，则对任何x,x0∈[a,b]，都有(*)式成立，且(#)式成立，其中ξ介于x和x0之间。证明如下 证明：作辅助函数 φ(t)=f(x)-σ[k=0,n]f^(k)(t)(x-t)^k/k!于是φ(t...
泰勒公式的拉格朗日余项怎么理解?
答：接着，我们进行一次深挖。对函数 \(f(x)\) 进行 \(n\) 次求导，我们依次得到一系列公式，每个公式都是对余项的精确描述。经过繁琐的计算，我们终于在第 \(n\) 式中找到了拉格朗日余项的身影，它化身为 \(r_n\)，通过拉格朗日中值定理，它被巧妙地嵌入到一个表达式中，告诉我们 \(r_n\) ...
答：泰勒公式的余项rn（x）可以写成以下几种不同的形式：1、佩亚诺（peano）余项：这里只需要n阶导数存在。2、施勒米尔希-罗什（schlomilch-roche）余项：其中θ∈（0,1），p为任意正实数。（注意到p=n 1与p=1分别对应拉格朗日余项与柯西余项）[2]3、拉格朗日（lagrange）余项：其中θ∈（0,1）。4、...
15096793935&&泰勒中值定理的余项r(x),中ξ为什么不是x.为什么余项要用柯西中值定理推出来? - 》》》[答案] taylor公式: f(x)=f(x0) f'(x0)(x-x0) f''(x0)(x-x0)^2/2! ... f^(n)(x0)(x-x0)^n/n! rn(x-x0)(*) 其中rn(x-x0)=f^(n 1)(ξ)(x-x0)^(n 1)/(n 1)!(#) 其余项r(x)的形式之所以这样,是因为有这样的一个定理: 设f(x)在[a,b]上n次连续可导且在(a,b)内n 1次可导,则...
15096793935&&泰勒公式的推导过程是什么? - 》》》[答案] 泰勒公式(taylor's formula) 带peano余项的taylor公式(maclaurin公式):可以反复利用l'hospital法则来推导, f(x)=f(x0) f'(x0)/1!*(x-x0) f''(x0)/2!*(x-x0)^2 … f^(n) (x0)/n!(x-x0)^n o((x-x0)^n) 泰勒中值定理(带拉格郎日余项的泰勒公式):若函...
15096793935&&学了高数 泰勒公式 不太懂 怎么搞出来的 一大堆余项 有啥用 他是神马意思 用来干嘛 - 》》》 考研的时候有一类题基本都是用泰勒公式 基本是用到展开到第三项 理解不了就把常见的泰勒公式背下来 例如sinx cosx的
15096793935&&谁能告诉我泰勒公式的推导? - 》》》[答案] 函数f(x)在点x0某邻域内具有直到n 1阶导数,我们希望找到一个n次多项式pn(x)=a0 a1(x-x0) a2(x-x0)^2 … an(x-x0)^n,使这... [f(x0)/n!](x-x0)^n 这个多项式就称为f(x)在x0处的n阶泰勒公式. 确定pn(x)一点也不困难,困难的是证明泰勒公式的余项 rn(x)...
15096793935&&数学分析泰勒公式解题 - 》》》 泰勒公式有两种,一种叫带高阶无穷小的有限增量公式,一种叫拉格朗日余项的泰勒公式,我跟你说说区别.前者定义域是邻域或者去心邻域,而且是n阶可微,余项是o(…………).后者定义域是闭区间连续,开区间n 1阶可微,余项是拉格朗日余项或者积分余项(积分余项是n阶可微分).你只要记住前n项的每一项的系数是f(x0)^(k)/k!即可,两种公式都一样,仅仅是余项不一样,还有定义不一样.
15096793935&&关于泰勒中值定理的证明大学数学课本《微积分》里讲到泰勒中值定理的 》》》 你没有真的看懂定理,泰勒中值定理是说函数f(x)等于n次多项式pn(x)(就是f(x)的n阶泰勒公式)与rn(x)(f(x)的n阶泰勒公式的余项)的和,余项具有形式[f(ξ)*(x-x0)^(n 1)]/[(n 1)!],所以需要证明的就是rn(x)=[f(ξ)*(x-x0)^(n 1)]/[(n 1)!].
15096793935&&泰勒中值定理和麦克劳林公式 - 》》》 泰勒中值定理:若函数f(x)在含有x的开区间(a,b)有直到n 1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于(x-x.)多项式和一个余项的和: f(x)=f(x.) f'(x.)(x-x.) f''(x.)/2!*(x-x.)^2, f'''(x.)/3!*(x-x.)^3 …… f(n)(x.)/n!*(x-x.)^n rn(...
15096793935&&能不能解释一下泰勒中值定理 - 》》》 泰勒中值定理,是高等数学中的一项定理. 函数介绍 如果函数 在含有 的某个开区间 内具有直到 阶的导数,且在闭区间 上连续,则对任的 ,至少存在一点 介于 与 之间,使得 阶泰勒公式 成立, 其中 (拉格朗日型余项)或 (佩亚诺型余项). 当 时,即为拉格朗日中值定理;当 时,称为麦克劳林公式.
15096793935&&把函数f(x)=e^x展开成x的幂函数.求帮忙解决 - 》》》 泰勒中值定理:若函数f(x)在开区间(a,b)有直到n 1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于(x-x.)多项式和一个余项的和: f(x)=f(x.) f'(x.)(x-x.) f''(x.)/2!•(x-x.)^2, f'''(x.)/3!•(x-x.)^3 …… f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n rn 其中rn=f(n 1)(ξ)/(...
15096793935&&泰勒公式的系数是怎么得来的? - 》》》 在数学中,泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.如果函数足够平滑的话,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下,泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值.泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差. 泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒.他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式,尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例.