z变换和逆z 变换
1.z变换定义
z变换是研究数字信号各种运动规律的有效方法，多用于时间域的地震和声波等信号的数字处理。我们先来看“时间序列”的表示方法，对于“时间序列”通用的方法是按等间隔时间点的信号幅值或脉冲表示，例如图8－5，其“时间序列”可表示为
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图8－5 时间序列图形
以时间函数b（n）在各时间点n的值作为变量z的n乘方项的系数，构成一个多项式b（z），即
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这里的b（z）就称为b（n）的z变换。其中称z为时间函数b（n）的“单位延迟算子”，简称延迟算子。利用z变换就可以反映时间函数的运动特性。
（1）z变换可以表示不同时延的相同的波形
例如：zb（z）＝z＋2z2－z4－z5表示上述的波延迟一个单位，z2b（z）＝z2＋2z3－z5－z6表示上述的波延迟两个单位，而znb（z）＝zn＋2zn＋1－zn＋3－zn＋4则表示波延迟了n个单位（图8－6）。
图8－6 z变换不同延迟示意图
（2）z变换可用于表示不同时延组合的复杂波
例如：如果b（z）是第一次爆炸的声压函数的z变换，延迟10个单位时间后又有一次爆聚，爆聚与第一次爆炸极性相反，强度是前者的一半，那么组合波（图8－7）的z变换为
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图8－7 组合波形图
把上述z的多项式推广到更为一般的情况，对于一个给定的离散信号序列x（n），以此序列为系数构造z的无穷级数称为序列x（n）的z变换，记作x（z），即
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考虑式（8－79）的收敛性，式（8－79）可改写为两个级数和形式：
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数学上容易证明z变换的收敛域为环域：
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其中，r为式（8－80）右端第一项级数绝对收敛的｜z｜中最小者，r为式（8－80）右端第二项级数绝对收敛的｜z｜中最大者。
在z变换式（8－79）中，如果令z＝e－iω，则
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可见，z变换与傅里叶变换（频谱）是一个概念，二者之间只是一种符号的代换。因此，z变换具有与傅里叶变换相同的性质，如线性、交换性等，同样也有褶积定理，即两个信号褶积的z变换等于信号z变换的乘积。
2.z变换的计算
（1）根据z变换定义计算
［例1］时间序列x（t），取如下各值｛x（－2），x（－1），x（0），x（1），x（2），x（3）｝，所得结果为｛8，3，－2，0，4，－6｝，求其z变换。
解：其z变换为
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［例2］求 的z变换。
解：其z变换为 其收敛域2z<1，即
［例3］求序列 的z变换。
解： 其收敛域
［例4］求序列 的z变换。
解：求得 其收敛域
（2）根据褶积定理计算
设时间序列a（k），b（k）的z变换分别为a（z）和b（z），即
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y（k）为这两个时间序列a（k），b（k）的褶积，即
y（k）＝a（k）*b（k）
则由z变换的褶积定理，知
y（z）＝a（z）·b（z）
即两序列褶积的z变换，等于两个序列的z变换的乘积。
［例5］已知a（k）＝｛a（0），a（1），a（2），a（3），a（4）｝＝｛1，1，1，1，1｝，且b（k）＝a（k），求
褶积值y（k）＝a（k）*b（k）。
解：根据z变换褶积定理
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由此可得
y（k）＝｛1，2，3，4，5，4，3，2，1｝（k＝0，1，…，8）
可以看出，用z变换计算a（k）*b（k）比直接算法简便得多。
这种算法也可以推广到多项褶积，即如果存在若干个序列a（j），b（j），…，k（j），那么他们的褶积y（j）＝a（j）*b（j）*…*k（j）的z变换为y（z）＝a（z）·b（z）…k（z）。
3.逆z变换
上面分析了从已知序列x（n）求出z变换的正问题。下面分析由x（z）求其对应序列x（n）的逆问题，即逆z变换。这里列举了求逆z变换的三种方法，并用例子进行说明。
（1）直接展开法
［例1］已知 ｜z｜
解：因为｜z｜
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［例2］已知 ｜z｜>a，求x（n）。
解：因为｜z｜>a，故 所以
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故x（n）＝｛－a，－a2，…｝（n＝－1，－2，…）
（2）部分分式法
［例3］已知 求x（n）。
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［例4］已知 1<｜z｜<4，求x（n）。
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根据前面例子有
x1（z）＝－z－1－z－2－…，｜z｜>1
x2（z）＝1＋4－1z＋4－2z2＋4－3z3＋…，｜z｜<4
故有
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