求三角函数极限的一个问题 高手来看下
1、分子secx-1=（1-cosx）/cosx=2sin^2(0.5x)/cosx
x→0 时cosx→1，2sin^2(0.5x)→2（1/2x）^2=1/2x^2
分子→1/2x^2
2、分母进行分子有理化
√(1 sin^2x)-1=sin^2x/[√(1 sin^2x) 1]
x→0 ，[√(1 sin^2x) 1]→2
分母→1/2sin^2x
其实，楼主给的等式右边还可以继续化简，最后数值是1
利用泰勒展开。
因为cosx=1-1/2x^2 o(x^4)，
所以(secx-1)=（1-cosx)/cosx=1/2x^2 o(x^4)
因为√(1 x)=1 1/2x o(x^2)
所以√(1 sin^2x)-1=1/2xsin^2x o(sin^4x)=1/2xsin^2x o(x^4)
于是(secx-1)/(√(1 sin^2x)-1)=1/2x^2 o(x^4)/[1/2xsin^2x o(x^4)]
取极限后，lim (secx-1)/(√(1 sin^2x)-1)=lim (1/2x^2)/(1/2sin^2x)
楼主请看 secx-1=(1-cosx)/cosx
当x→0 上式等价于 (1/2)x^2
而又有√(1 sin^2x)-1等价于1/2sin^2x
楼主请看,（1 x）^(1/n) -1 等价于1/n x, 式中 x是无穷小量
都是用等价无穷小替换
x→0时，1－cosx等价于1/2×x^2，(1 x)^(1/n)－1等价于x/n（同济高数教材上有）
我做出来答案等于1，用洛必达法则对分子分母分别求导即可
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13493946001&&求高数中的三角函数的极限求解 - 》》》 总的来说,要搞清楚,大数与有限数,有需要可以使用夹逼定理、罗必塔法则等. 如求解例如lim x趋向于0情况下(sin 1/x)/(1/x),1/x趋向于∞,sin 1/x∈[1,1], 所以lim x趋向于0,(sin 1/x)/(1/x)=0; 如求解例如lim x趋向于∞情况下(sin 1/x)/(1/x),1/x趋向于0,sin 1/x趋向于0, 此时由于lim x趋向于0,(sin x)/x=1, 所以lim x趋向于∞,(sin 1/x)/(1/x)=1; 对于0/0,∞/∞,∞±∞等等情况往往需要可以使用夹逼定理、罗必塔法则等.
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